Pengantar umum Statistik probabilitas

1. PROBABILITAS DAN STATISTIKA
2. Pengertian Statistika

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah ‘statistika’ (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan ‘statistik’ (statistic).

Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas.

2. Jenis-jenis Statistika

• Statistika deskriptif adalah statistika yang berkaitan dengan metode atau cara medeskripsikan, menggambarkan, menjabarkan atau menguraikan data. Statistika deskripsi mengacu pada bagaimana menata, menyajikan dan menganalisis data, yang dapat dilakukan misalnya dengan menentukan nilai rata-rata hitung, median, modus, standar deviasi atau menggunakan cara lain yaitu dengan membuat tabel distribusi frekuensi dan diagram atau grafik.
• Statistika inferensia adalah statistika yang berkaitan dengan cara penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh dari sampel untuk menggambarkan karakteristik dari suatu populasi. Dengan demikian dalam statistika inferensia data yang diperoleh dilakukan generalisasi dari hal yang bersifat kecil (khusus) menjadi hal yang bersifat luas (umum).

3. Metode Statistika
4. Distribusi Frekuensi

Teknik ini mungkin merupakan teknik yang paling mudah dan paling banyak digunakan untuk mendeskripsikan data. Distribusi frekuensi mengindikasikan jumlah dan persentase responden, obyek yang masuk ke dalam kategori yang ada. Teknik ini biasanya digunakan untuk memberikan informasi awal dalam penelitian tentang obyek atau responden.

1. Cross-Tabulations

Bila distribusi frekuensi digunakan untuk memberikan informasi yang menggambarkan keseluruhan sampel atau populasi yang diteliti, cross-tabulation adalah sebuah teknik visual yang memungkinkan peneliti menguji relasi antar variabel.

Kedua teknik yang telah disebutkan di atas digunakan untuk menggambarkan data yang dikumpulkan selama penelitian, ini hanya merupakan awal tugas peneliti. Tugas berikutnya adalah menjelaskan temuan-temuan ini dan dapat membuat sebuah generalisasi tentang populasi yang lebih besar. Maka digunakanlah inferential statistics.

1. Korelasi

Metode ini menggambarkan secara kuantitatif asosiasi ataupun relasi satu variabel interval dengan variabel interval lainnya. Sebagai contoh kita dapat lihat relasi hipotetikal antara lamanya waktu belajar dengan nilai ujian tinggi.

Korelasi diukur dengan suatu koefisien (r) yang mengindikasikan seberapa banyak relasi antar dua variabel. Daerah nilai yang mungkin adalah +1.00 sampai -1.00. Dengan +1.00 menyatakan hubungan yang sangat erat, sedangkan -1.00 menyatakan hubungan negatif yang erat.

Berikut ini adalah panduan untuk nilai korelasi tersebut :

+ atau – 0.80 hingga 1.00    korelasi sangat tinggi

0.60 hingga 0.79    korelasi tinggi

0.40 hingga 0.59    korelasi moderat

0.20 hingga 0.39    korelasi rendah

0.01 hingga 0.19    korelasi sangat rendah

Satu hal yang perlu diingat adalah “korelasi tidak menyatakan hubungan sebab-akibat”. Dari contoh di atas, korelasi hanya menyatakan bahwa ada relasi antara lamanya waktu belajar dengan nilai ujian tinggi, namun bukan “lamanya waktu belajar menyebabkan nilai ujian tinggi”.

1. Regresi

Regresi digunakan ketika periset ingin memprediksi hasil atas variabel-variabel tertentu dengan menggunakan variabel lain. Dalam bentuknya yang paling sederhana yang hanya melibatkan dua buah variabel, yaitu variabel bebas (independent) dan variabel terikat (dependent), misalnya lama waktu belajar dengan nilai ujian. Regresi sederhana berusaha memprakirakan nilai ujian dengan lamanya waktu belajar. Analisis regresi mengindikasikan kepentingan relatif satu atau lebih variabel dalam memprediksi variabel lainnya.

1. t-test

Teknik t-test digunakan bila periset ingin mengevaluasi perbedaan antara efek. Sebagai contoh, periset mungkin tertarik dalam perbedaan kepuasan kerja untuk orang-orang yang berbeda tingkat pendidikannya. Teknik analisis yang banyak digunakan adalah membandingkan dua kelompok, misalnya mereka yang mendapat pendidikan universitas dengan mereka yang tidak, dengan menggunakan mean kelompok sebagai dasar perbandingan. t-test akan mengindikasikan apakah perbedaan antara kedua kelompok tersebut signifikan secara statistika.

1. F-test

F-test menguji apakah populasi tempat sampel diambil memiliki korelasi multiple (R) nol atau apakah terdapat sebuah relasi yang signifikan antara variabel-variabel independen dengan variabel-variabel dependen.

1. Analisis Validitas

Untuk melakukan analisis validitas dapat digunakan metode Pearson Product Moment (bila sampel normal, 30) ataupun metode Spearman Rank Correlation (bila sampel kecil, 30).

1. Analisis Reliabilitas Internal

Untuk analisis reliabilitas internal dapat digunakan metode Cronbach’s Alpha. Jika koefisien yang didapat 0.60, maka instrumen penelitian tersebut reliabel.

4. Probabilitas

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus kita tentukan memilih yang mana. Biasanya kita dihadapkan dengan kemungkinan-kemungkinan suatu kejadian yang mungkin terjadi dan kita harus pintar-pintar mengambil sikap jika menemukan keadaan seperti ini, misalkan saja pada saat kita ingin bepergian, kita melihat langit terlihat mendung. Dalam keadaaan ini kita dihadapkan antara 2 permasalahan, yaitu kemungkinan terjadinya hujan serta kemungkinan langit hanya mendung saja dan tidak akan turunnya hujan. Statistic yang membantu permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas.

Probabilitas didifinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian, suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di masa mendatang. Rentangan probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi. Serta jumlah antara peluang suatu kejadian yang mungkin terjadi dan peluang suatu kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah satu, jika kejadian tersebut hanya memiliki 2 kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi.

Contoh ; Ketika Doni ingin pergi kerumah temannya, dia melihat langit dalam keadaan mendung, awan berubah warna menjadi gelap, angin lebih kencang dari biasanya seta sinar matahari tidak seterang biasanya.

Bagaimanakah tindakan Doni sebaiknya?

Ketika Doni melihat keadaan seperti itu, maka sejenak dia berpikir untuk membatalkan niatnya pergi kerumah temannya. Ini dikarenakan dia beripotesis bahwa sebentar lagi akan turunya hujan dan kecil kemungkinan bahwa hari ini akan tidak hujan, mengingat gejala-gejala alam yang mulai nampak. Probabilitas dalam cerita ini, adalah peluang kemungkinan turunnya hujan dan peluang tidak turunnya hujan.

Singkatnya, probabilitas adalah harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, di antara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi. Contoh : sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6)

Rumus : P (E) = X/N

P: Probabilitas

E: Event (Kejadian)

X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)

N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi

1. PENDEKATAN PERHITUNGAN PROBABILITAS

Konsep-konsep probabilitas tidak hanya penting oleh karena terapan-teranpannya yang langsung pada masalah-masalah bisnis akan tetapi juga karena probabilitas adalah dasar dari sampel-sampel dan inferences tentang populasi yang dapat dibuat dari suatu sampel. Pendekatan perhitungan probabilitas ada tiga konsep untuk mendefinisikan probabilitas dan menentukan nilai-nilai probabilitas, yaitu :

• Pendekatan Klasik

Pendekatan klasik didasarkan pada banyaknya kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi pada suatu kejadian. “Jika ada a banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, dan b banyaknya kemungkinan tidak terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing”. Probabilitas bahwa akan terjadi A adalah P(A) = a / (a+b).

• Pendekatan Frekuensi Relatif (Emperical Approach)

Nilai probabilitas ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu observasi atau percobaan. Tidak ada asumsi awal tentang kesamaan kesempatan, karena penentuan nilai-nilai probabilitas didasarkan pada hasil obserbasi dan pengumpulan data. Misalkan berdasarkan pengalaman pengambilan data sebanyakN terdapat a kejadian yang bersifat A. Dengan demikian probabilitas akan terjadi Auntuk data adalah P(A) = A /N.

• Pendekatan Subyektif (Personalistic Approach)

Pendekatan subyektif dalam penentuan nilaiprobabilitas adalah tepat atau cocok apabila hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam satu kejadian. Dengan pendekatan ini, nilai probabilitas dari suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat kepercayaan yang bersifat individual dengan berlandaskan pada semua petunjuk yang dimilikinya.

1. DISTRIBUSI PROBABILITAS

Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa tersebut dalam beberapa keadaan. Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh probabilitas kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi probabilitas.

1. Distribusi Binomial (Bernaulli)

Distribusi Binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli) adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, sakit-sehat dan lain-lain.

Ciri-ciri distribusi Binomial adalah sebagai berikut :

• Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-gagal.
• Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan.
• Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.
• Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.

Simbol peristiwa Binomial →b (x,n,p)

Ket :

b = binomial

x = banyaknya sukses yang diinginkan (bilangan random)

n = Jumlah trial

p = peluang sukses dalam satu kali trial.

Dadu dilemparkan 5 kali, diharapkan keluar mata 6 dua kali, maka kejadian ini dapat ditulis b(2,5,1/6) → x=2, n=5, p=1/6.

Contoh Soal :

Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah 0,2 (p). Pada suatu hari di Puskesmas “X” ada 4 orang bayi. Hitunglah peluang dari bayi tersebut 2 orang belum imunisasi polio. Jadi, di dalam kejadian binomial ini dikatakan b (x=2, n=4, p=0,2) → b (2, 4, 0,2).

Jawab :

Katakanlah bayi tersebut A,B,C,D. Dua orang tidak diimunisasi mungkin adalah A&B, A&C, A&D, B&C, B&D, C&D.

Rumus untuk b (x,n,p) adalah:

P (x) =                           P

0,1536 = 0,154

2. Distribusi Poisson

Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. Fungsi distribusi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis.
Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b(X│n.p) untuk X= 1,2,3 …n. namun demikian, untuk suatu kejadian dimana n sangat besar (lebih besar dari 50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil seperti 0,1 atau kurang, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.

Contoh Distribusi Poisson :

• Disuatu gerbang tol yang dilewati ribuan mobil dalam suatu hari akan terjadi kecelakaan dari sekian banyak mobil yang lewat.
• Dikatakan bahwa kejadian seseorang akan meninggal karena shock pada waktu disuntik dengan vaksin meningitis 0,0005. Padahal, vaksinasi tersebut selalu diberikan kalau seseorang ingin pergi haji.

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :

• Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat yang lain terpisah.
• Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit.
• Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan.

Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal:

• Menghitung Probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, saeperti menghitung probabilitas dari:
  Kemungkinan kesalahan pemasukan data atau kemungkinan cek ditolak oleh bank. Jumlah pelanggan yang harus antri pada pelayanan rumah sakit, restaurant cepat saji atau antrian yang panjang bila ke ancol.Banyaknya bintang dalam suatu area acak di ruangangkasa atau banyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air. Jumlah salah cetak dalam suatu halaman ketik. Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan. Distribusi bakteri di permukaan beberapa rumput liar di ladang. Semua contoh ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan tentang suatu distribusi Poisson.
• Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p<0,1).

Jika kita menghitung sejumlah benda acak dalam suatu daerah tertentu T, maka proses penghitungan ini dilakukan sebagai berikut :

• Jumlah rata-rata benda di daerah S T adalah sebanding terhadap ukuran S, yaitu ECount(S)= λ S. Di sini melambangkan ukuran S, yaitu panjang, luas, volume, dan lain lain. Parameter λ > 0 menggambarkankan intensitas proses.
• Menghitung di daerah terpisah adalah bebas.
• Kesempatan untuk mengamati lebih dari satu benda di dalam suatu daerah kecil adalah sangat kecil, yaitu P(Count(S)2) menjadi kecil ketika ukuran menjadi kecil.

Rumus Distribusi Poisson :

(x) → Nilai Rata-rata

e  Konstanta = 2,71828

x = Variabel random diskrit (1,2,3,…., x)

Contoh:

Diketahui probabilitas untuk terjadi shock pada saat imunisasi dengan vaksinasi meningitis adalah 0,0005. Kalau di suatu kota jumlah orang yang dilakukan vaksinasi sebanyak 4000. Hitunglah peluang tepat tiga orang akan terjadi shock!

Penyelesaian:

μ = λ= n.p = 4000 x 0,0005 = 2

p(x=3)

3. Distribusi Normal

Distribusi Normal adalah salah satu distribusi teoritis dari variable random kontinu. Distribusi Normal sering disebut distribusi Gauss.

Rumus Distribusi Normal :

∫ (x) =

-≈ < x > ≈  = 0

-≈ < μ > ≈ π= 3,14 e = 2,71828

Agar lebih praktis, telah ada tabel kurva normal dimana tabel ini menunjukkan luas kurva normal dari suatu nilai yang dibatasi nilai tertentu.

Ciri Khas Distribusi Normal :

• Simetris
• Seperti lonceng
• Titik belok μ ±σ
• Luas di bawah kurva = probability = 1

Kurva Normal Umum

Untuk dapat menentukan probabilitas di dalam kurva normal umum (untuk suatu sampel yang cukup besar, terutama untuk gejala alam seperti berat badan dan tinggi badan), nilai yang akan dicari ditransformasikan dulu ke nilai kurva normal standar melalui transformasi Z (deviasi relatif).

Rumus:

Z =

Z =

-Kurva normal standar →     N (μ = 0, σ = 1)

-Kurva normal umum N (μ,σ)

1. HUKUM PROBABILITAS

Asas perhitungan probabilitas dengan berbagai kondisi yang harus diperhatikan

1. Hukum Pertambahan

Terdapat 2 kondisi yang harus diperhatikan yaitu:

1. a)      Mutually Exclusive (saling meniadakan)

Rumus: P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)

Contoh:

Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah:

P(2 U 5) = P (2) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6

1. b)      Non Mutually Exclusive (dapat terjadi bersama)

Peristiwa Non Mutually Exclusive (Joint) adalah dua peristiwa atau       lebih dapat terjadi bersamasama (tetapi tidak selalu bersama).

Contoh penarikan kartu as dan berlian :

(A U B) =P(A) + P (B) – P(A ∩B)

Peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabungan antara peristiwa A dan peristiwa B. Akan tetapi karena ada elemen yang sama dalam peristiwa A dan B, gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwa di mana A dan B memiliki elemen yang sama. Dengan demikian, probabilitas pada keadaan di mana terdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan B maka probabilitas A atau B adalah probabilitas A ditambah probabilitas B dan dikurangi probabilitas elemen yang sama dalam peristiwa A dan B.

2. Hukum Perkalian

Terdapat dua kondisi yang harus diperhatikan apakah kedua peristiwa tersebut saling bebas atau bersyarat.

1. a)      Peristiwa Bebas (Independent)

Apakah kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa tidak mempengaruhi peristiwa lain.

Contoh:

Sebuah coin dilambungkan 2 kali maka peluang keluarnya H pada lemparan pertama dan pada lemparan kedua saling bebas.

P(A ∩B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)

Peristiwa Bebas (Hukum Perkalian)

Contoh

1. Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah : P (5 ∩ 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36
2. Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil lambungan berupa sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah:

P (H) = ½, P (3) = 1/6

P (H ∩ 3) = ½ x 1/6 = 1/12

1. b)      Peristiwa tidak bebas (Hukum Perkalian)

Peristiwa tidak bebas atau peristiwa bersyarat (Conditional Probability) adalah dua peristiwa dikatakan bersyarat apabila kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa akan berpengaruh terhadap peristiwa lainnya.

Contoh:

Dua buah kartu ditarik dari set kartu bridge dan tarikan kedua tanpa memasukkan kembali kartu pertama, maka probabilitas kartu kedua sudah tergantung pada kartu pertama yang ditarik. Simbol untuk peristiwa bersyarat adalah P (B│A) -> probabilitasB pada kondisi A

P(A ∩B) = P (A) x P (B│A)

Contoh soal:

Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai berikut:

Peluang as I adalah 4/52 -> P (as I) = 4/52

Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51

P (as II │as I) = 3/51

P (as I ∩ as II) = P (as I) x P (as II│ as I)

= 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/221

1. Sejarah Probabilitas

Probabilitas dikenal dengan teori peluang. Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565, Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Girolamo merupakan salah seorang dari bapak probability. Pada tahun 1654, seorang penjudi lainnya yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian.
Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623- 1662) untuk menganalisis sistim perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang. Pascal bekerjasama dengan Fermat menyelesaikan soal-soal yang diberikan oleh Chevalier de Mere..

Di awal tahun 1656, Christiaan Huygens menulis naskah Van Rekeningh in Spelen van Geluck . Van Rekeningh in Spelen van Geluck adalah risalat singkat terdiri dari 15 halaman, yang kemung kinan didasarkan atas apa yang dilihat Huygen selama dia menetap di Paris pada tahun-tahun sebelumnya tentang surat menyurat antara Pascal dan Fermat. Pada bentuk akhirnya, tulisan ini memuat 14 masalah (Voorstellen) dengan solusi atau buktinya dan 5 masalah yang harus diselesaikan oleh pembaca. Lima masalah terakhir adalah sebagian dari masalah Fermat dan Pascal. Masalah terakhir dari kelima masalah tersebut pada akhirnya dikenal sebagai “Gambler’s ruin” dan bagian-bagian dari surat menyurat Pascal dan Fermat yang di terbitkan pada tahun 1656.
Pada tahun 1709 Jaques (Jacob) Bernoulli me nulis buku Ars Conjectandi, yang terdiri 5 bagian, yaitu:

1. Menulis lagi Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Chance) karya Cardano
2. Permutasi dan Kombinasi
3. Distribusi Binomial dan Multinomial
4. Teori Peluang